CALCULAR
$$\begin{equation*}
(\frac{(2+3)(2^2+3^2)........(2^{1024}+3^{1024})(2^{2048}+3^{2048})+2^{4096}}{3^{2048}})
\end{equation*}$$
EL NUMERO DEL GORDO DE NAVIDAD
Un lotero dice que el gordo de Navidad
este año va a tocar un número de cinco cifras diferentes que cumple con la
siguiente ley matemática: el número menos el orden del mes del año es un número
múltiplo del orden del mes siguiente y esto es válido para cualquier mes del
año. ?Serás capaz de acertar el número de lotería¿
Soluciones
APLICACIONES SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA FÍSICA: LEYES DE KEPLER
Cálculo de las trayectorias descritas por los planetas en sus movimientos de traslación alrededor del SOL. Ejemplo del movimiento de la TIERRA
Las características de la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y La Tierra son que se trata de fuerzas radiales, que permanentemente conservan la dirección del radio que une el Sol con la Tierra
Vamos a partir de la segunda ley de Newton de la Mecánica Clásica
\begin{equation}\sum{\vec{F}}=m{\vec{a}}\end{equation}
Aplicamos la ecuación de momentos dadas las características de las fuerzas
Utilizaremos la magnitud cantidad de movimiento$\vec{p}=m{\vec{v}}$
\begin{equation}\sum{\vec{M_o}}=\sum\vec{r}\times {\vec{F}}=\vec{r}\times m{\vec{a}}=\vec{0}\end{equation}
\begin{equation}\vec{r}\times m\frac{d{\vec{v}}}{dt}=\vec{r}\times{\vec{p}}=\vec{0}\end{equation}
Soluciones
APLICACIONES SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA FÍSICA: LEYES DE KEPLER
Cálculo de las trayectorias descritas por los planetas en sus movimientos de traslación alrededor del SOL. Ejemplo del movimiento de la TIERRA
Las características de la fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y La Tierra son que se trata de fuerzas radiales, que permanentemente conservan la dirección del radio que une el Sol con la Tierra
Vamos a partir de la segunda ley de Newton de la Mecánica Clásica
Por lo tanto: \begin{equation}\vec{r}\times{\vec{v}}=\vec{constante}\end{equation}ya que se cumple por ser la derivada de un producto: \begin{equation}\frac{d[{{\vec{r}\times{\vec{v}}}}]}{dt}=\frac{d{\vec{r}}}{dt}\times{\vec{v}}+\vec{r}\times\frac{d{\vec{v}}}{dt}=\vec{v}\times{\vec{v}}+\vec{r}\times\frac{d{\vec{v}}}{dt}=\vec{r}\times\frac{d{\vec{v}}}{dt}\end{equation} al ser $\vec{v}\times{\vec{v}}=0$
Las conclusión por tanto es que el movimiento se desarrolla en el mismo plano que es el plano de la eclíptica al ser el vector $\vec{r}\times{\vec{v}}$ el vector perpendicular del plano definido por (\vec{r},\vec{v}) y por tanto siempre el mismo. Para la resolución del problema vamos a utilizar coordenadas polares que facilitarán la tarea. Su relación con las cartesianas viene dada por: \begin{equation}x=r\sin(\theta)\end{equation} \begin{equation}y=r\cos(\theta)\end{equation} Cálculo de componentes de la VELOCIDAD \begin{equation}\vec{r}=r\vec{u_r}=r\cos(\theta){\vec{i}}+r\sin(\theta){\vec{j}}=r(\cos(\theta){\vec{i}}+\sin(\theta){\vec{j}})\end{equation} \begin{equation}\vec{v}=\frac{d{\vec{r}}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec{u_r}+r\frac{d{\vec{u_r}}}{d\theta}\frac{d{\theta}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec{u_r}+r\frac{d{\theta}}{dt}\vec{u_\theta}\end{equation} Donde se cumple que: $\vec{u_r}=\cos(\theta){\vec{i}}+\sin(\theta){\vec{j}}$ ; $\vec{u_\theta}=-\sin(\theta){\vec{i}}+\cos(\theta){\vec{j}}=\frac{d{\vec{u_r}}}{d\theta}$
De esta expresión se deduce que las componentes polares de la velocidad serán respectivamente:
$v_r=\frac{dr}{dt}$ ; $ v_\theta=r \frac{d{\theta}}{dt}$
Recordar que se ha aplicado también que: \begin{equation}\frac{d{\vec{u_r}}}{d\theta}=-\cos(\theta){\vec{i}}-\sin(\theta){\vec{j}}=-\vec{u_r}\end{equation}
Las componentes de la aceleración en polares serán por lo tanto:
\begin{equation}\vec{a_r}=\frac{d^2{r}}{dt^2}-r(\frac{d{\theta}}{dt})^2\end{equation} \begin{equation}\vec{a_\theta}=2\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\end{equation}
Vamos a proceder a partir de la segunda ley de Newton con el ensayo como fuerza de la ley de gravitación universal, a la resolución de las ecuaciones diferenciales para conseguir la ecuación de la trayectoria esperada del movimiento de la Tierra en torno al Sol \begin{equation}\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\vec{u_r}\end{equation}
Aplicamos la segunda ley de Newton
\begin{equation}\sum{\vec{F}}=m{\vec{a}}\end{equation} \begin{equation}\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2}\vec{u_r}=m[(\frac{d^2{r}}{dt^2}-r(\frac{d{\theta}}{dt})^2)\vec{u_r}+(2\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r\frac{d^2{\theta}}{dt^2})\vec{u_\theta}]\end{equation}
Las dos ecuaciones escalares a trabajar serán: \begin{equation}-\frac{GMm}{r^2}=m[\frac{d^2{r}}{dt^2}-r(\frac{d{\theta}}{dt})^2]\mbox{ primera ecuación }\end{equation} \begin{equation}0=2\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\mbox{ segunda ecuación }\end{equation}
Recordando las expresiones de la derivada de un producto:
\begin{equation}[r(\frac{d{\theta}}{dt})]´=\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\end{equation}
\begin{equation}[r^2(\frac{d{\theta}}{dt})]´=2r\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r^2\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\end{equation}
La segunda ecuación multiplicando por r se puede resolver de la forma siguiente:
\begin{equation}0=2r\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r^2\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\end{equation} \begin{equation}0=[r^2(\frac{d{\theta}}{dt})]´\end{equation} De donde se deduce que durante el movimiento \begin{equation}r^2(\frac{d{\theta}}{dt})=h=constante\end{equation} Esta expresión coincide con la segunda ley de Kepler que enuncia que la velocidad areolar es constante durante el movimiento "las áreas barridas por los radios vectores en tiempos iguales son iguales"
\begin{equation}dA=\frac{1}{2}(base)(altura)=\frac{1}{2}r(r\sin{d\theta})=\frac{1}{2}r^2{d\theta}\end{equation}
Por lo tanto \begin{equation}\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{2}h=constante\end{equation}
Veamos como se puede proceder a la resolución de la primera ecuación:
\begin{equation}-\frac{GMm}{r^2}=m[\frac{d^2{r}}{dt^2}-r(\frac{d{\theta}}{dt})^2]\end{equation}
a partir de la información obtenida de la segunda ecuación:
\begin{equation}0=2\frac{dr}{dt}\frac{d{\theta}}{dt}+r\frac{d^2{\theta}}{dt^2}\end{equation} \begin{equation}r^2\frac{d\theta}{dt}=h=constante\end{equation} \begin{equation}\frac{d\theta}{dt}=\frac{h}{r^2}=f(r)\end{equation} \begin{equation}\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}=-h\frac{d}{d\theta}(\frac{1}{r})\end{equation}
Podemos utilizar el cambio de variable $u=\frac{1}{r}$ para mayor facilidad a la hora de resolver. Entonces quedará $\frac{dr}{dt}=-h\frac{du}{d\theta}$ Además: \begin{equation}\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt})=\frac{d}{d\theta}(\frac{dr}{dt})\frac{d\theta}{dt}=-h\frac{d^2u}{d\theta^2}\frac{h}{r^2}=-\frac{h^2}{r^2}\frac{d^2u}{d\theta^2}=-h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}\end{equation}
La nueva ecuación en $u , \theta$ será:
\begin{equation}-GMu^2=-h^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}-h^2u^3\end{equation} es decir: $GM=h^2\frac{d^2u}{d\theta^2}+h^2u$
y por lo tanto: $\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=\frac{GM}{h^2}$
Se trata de resolver una ecuación diferencial de segundo orden, para lo cual ensayaremos una solución previa para la ecuación igualada a cero:
\begin{equation}y´´+y=k\end{equation} \begin{equation}y´´+y=0\end{equation} Supongamos que la solución de esta última es $y_p$ podemos ensayar como solución general $y=y_p+k$ ya que $y´=y_p´ ; y´´=y_p´´$ luego se cumplirá la ecuación diferencial $y_p´´+y_p+k=k$ al ser $y_p$ solución de la ecuación homogénea
En nuestro caso la ecuación homogénea es :
\begin{equation}\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=0\end{equation}
Se trata de buscar una función cuya segunda derivada coincida con la función cambiada de signo lo que sucede con las funciones seno y coseno
Una solución particular podría ser $u=C\cos(\theta)+\frac{GM}{h^2}$
Comprobamos:
$u´=-C\sin(\theta)$ $u´´=-C\cos(\theta)$
Por lo tanto : $-C\cos(\theta)+C\cos(\theta)+\frac{GM}{h^2}=\frac{GM}{h^2}$
La ecuación de la trayectoria será en coordenadas polares: $u=C\cos(\theta)+k$
siendo $k=\frac{GM}{h^2}$
o lo que es lo mismo $\frac{1}{r}=C\cos(\theta)+k$
Mediante algunas operaciones lo escribimos en coordenadas cartesianas:
\begin{equation}1=Cr\cos(\theta)+kr\end{equation} Como $x=r\cos(\theta)$; $\sqrt{x^2+y^2}=r$ \begin{equation}1=Cx+k\sqrt{x^2+y^2}\end{equation} \begin{equation}(1-Cx)^2=k^2(x^2+y^2)\end{equation} \begin{equation}1+C^2x^2-2Cx=k^2(x^2+y^2)\end{equation} \begin{equation}(k^2-C^2)x^2+2Cx+k^2y^2=1\end{equation} \begin{equation}x^2+\frac{k^2}{k^2-C^2}y^2+\frac{2C}{x^2-C^2}x=\frac{1}{k^2-C^2}\end{equation} \begin{equation}[x+\frac{C}{k^2-C^2}]^2+\frac{k^2}{k^2-C^2}y^2=\frac{1}{k^2-C^2}+\frac{C^2}{(k^2-C^2)^2}\end{equation} \begin{equation}[x+\frac{C}{k^2-C^2}]^2+\frac{k^2}{k^2-C^2}y^2=\frac{k^2-C^2+C^2}{(k^2-C^2)^2}=\frac{k^2}{(k^2-C^2)^2}\end{equation} \begin{equation}\frac{[x+\frac{C}{k^2-C^2}]^2}{\frac{k^2}{(k^2-C^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{(k^2-C^2)k^2}{k^2(k^2-C^2)^2}}=1\end{equation} Quedando finalmente la siguiente ecuación que representa una trayectoria elíptica en el plano en el que tiene lugar el movimiento \begin{equation}\frac{[x+\frac{C}{k^2-C^2}]^2}{\frac{k^2}{(k^2-C^2)^2}}+\frac{y^2}{\frac{1}{k^2-C^2}}=1\end{equation} ELIPSE de semiejes $a=\frac{k}{k^2-C^2}$; $b=\frac{1}{\sqrt{k^2-C^2}}$ donde k es igual a : $k=\frac{GM}{h^2}$
